近些年来, 随着数字信息技术的快速发展、图像数据库规模不断扩大, 为有效管理和利用海量的图像数据, 基于内容的图像检索(CBIR)[1]技术在计算机视觉领域得到了广泛的研究与应用.通过计算机软件对图像的特征进行自动识别和提取, 以用于图像的检索和分类[2].由于形状是大多数物体固有的视觉属性, 是人类视觉系统对物体进行识别和分类的重要依据, 因此, 形状分析成为CBIR研究领域十分活跃的分支, 并且已经在文本分析、神经科学、农业、生物医药、工程技术等领域产生了大量的应用[3, 4]. 在图像处理中, 对于从场景中分割出来的目标形状, 我们可以将其表示为分布在目标区域的所有像素点的集合, 如果可以将其简化成一条仅由边界像素点构成的曲线, 而且形状信息能够完全保持(该闭合曲线所围成的区域即为目标区域), 我们称该类形状为轮廓线形状.如果形状存在不联通的目标区域, 或区域是联通的, 但目标区域内有孔洞, 使其具有复杂的内部结构, 则该类形状为区域形状.我们在图 1中给出了形状分类框图以及两类形状的示例图像和对应的边界图, 以便于观察这两类形状的特点, 其中, 轮廓线形状和区域形状的示例分别取自MPEG-7 CE-1轮廓线形状图像库和MPEG-7 CE-2区域形状图像库. Fig. 1 Classification of shapes and its example images and edge maps 图 1 形状的分类及其示例图像和边界图 形状描述是形状分析的核心步骤, 旨在提取目标形状的有效特征, 以用于后续目标形状的匹配、检索和分类等形状分析任务[4].现有的形状描述方法可分为基于曲线的描述方法和基于点集的描述方法两大类. 基于曲线的描述方法根据目标边界像素点的邻接关系进行轮廓跟踪, 从而得到一条轮廓线曲线, 即轮廓的有序点集.这类方法近些年得到广泛和深入的研究, 研究成果[5-23]如傅里叶描述子[13, 14]和曲率尺度空间[15, 16], 二者是经典的轮廓线形状描述子, 后者被MPEG-7推荐为标准的轮廓线形状描述子, 其在MPEG-7 CE-1形状测试集上获得了75.44%的检索准确率[15].又如多尺度凹凸性[5]、内部距离[6]、三角形面积[7]、轮廓柔韧性[8]、形状树[17]、分段多项式描述子[18]、局部仿射不变描述子[19]以及一些其他轮廓线描述子[9-12, 20-23].该类方法可借助曲线分析的数学工具, 如傅里叶变换、小波变换、微分几何等, 产生许多具有强辨识力的形状描述子, 还可以利用深度学习的方法对特征进行有效的选取[24, 25].而在形状匹配阶段, 可以借助像素点的有序信息进行轮廓线的精确匹配, 如采用动态规划的匹配方法, 又如利用距离度量学习的方法进行形状相似度的度量[26].该类方法形式优美, 性能优越, 虽然这些方法在MPEG-7 CE-1轮廓线形状测试集上报告的检索精确率大都超过了85%, 但这些方法是专门为轮廓线形状设计的, 需要把目标形状的轮廓表示为一条曲线才能进行特征抽取, 因而只能处理图 1中的轮廓线形状.但对于图 1中的区域形状, 由于其轮廓不能用一条曲线来进行表示, 该类方法则无能为力.综上, 我们可以看出基于曲线的描述方法因对目标形状轮廓的提取质量有着严重的依赖性, 不能处理具有复杂内部结构的区域形状, 因此具有很大的局限性, 不能用于一般的形状识别任务. 基于点集的方法是另一类形状描述方法, 该类方法将目标形状区域的像素点看成一般的点集, 抽取点集的几何特性, 产生形状描述子.该类方法又可进一步地分为基于区域点集的描述方法和基于边界点集的描述方法:前者在抽取形状的特征时, 考虑目标形状区域的所有像素点, 即将所有的目标像素点看成一个点集; 而后者则仅考虑目标形状的边界像素点, 将边界像素点构成一个点集来进行特征抽取.我们在图 2中给出了形状描述方法的分类框图.由基于点集的形状描述机制可知, 基于区域点集的描述方法和基于边界点集的描述方法都能够描述轮廓线形状和区域形状. Fig. 2 Classification of shape decription methods 图 2 形状描述方法的分类 人类的视觉系统对目标的边界信息非常敏感.从图 1中形状的边界图可以看出, 无论是轮廓线形状还是区域形状, 在移去目标区域内的所有像素点, 仅保留边界像素点的情况下, 人的视觉系统仍然能对目标形状进行准确辨识.因此, 目标形状的边界像素点为我们抽取具有强辨识力的形状特征提供了重要的线索.相较于基于曲线的描述方法, 基于边界点集的描述方法克服了前者仅能处理轮廓线形状的局限性, 能够一般地处理两类目标形状, 且由于不需要对边界点进行序化操作, 从而避免了因序化操作所带来的不稳定性.而相较于基于区域点集的描述方法, 基于边界点集的描述方法由于仅需处理边界像素点, 因此降低了点集的基数, 从而具有非常高的计算效率; 且其直接从边界提取特征, 使得描述子更具辨识能力.因此, 本文着眼于基于边界点集的形状描述方法.其主要贡献在于:提出了一种目标边界的分层描述模型, 通过对目标边界从多个方向的分层度量, 多尺度地抽取了目标形状几何特征, 无论是在标准的MPEG-7 CE-2区域形状测试集上, 还是在MPEG-7 CE-1轮廓线形状测试集上, 该方法都以较低的计算成本, 取得了比同类方法(基于点集的描述方法)更高的形状检索精确率. 1 相关工作 本文提出的是一种新的基于边界点集的形状描述方法, 所以, 与本文联系最紧密的工作是近年来一些基于点集的形状描述方法.本节中, 我们对一些常见的基于点集的方法按基于区域点集和基于边界点集的分类展开综述. 常用的基于区域点集的形状描述方法有几何不变矩[27]、Zernike矩(Zernike moments, 简称ZM)[28]、伪Zernike矩[29]等各种基于矩的形状描述方法和通用傅里叶描述子(generic Fourier descriptor, 简称GFD)[30]等基于傅里叶变换的形状描述方法.在众多基于矩的形状描述方法中, Zernike矩[28]是一种经典的基于区域点集的形状描述方法.它将图像投影到一组定义在单位圆上的基于Zernike多项式的正交化函数, 矩的大小用以生成对图像进行描述的特征向量.Zernike矩能够很容易地构造图像的任意高阶矩, 并能够使用较少的矩来重建图像.虽然其计算比较复杂, 但是Zernike矩在图像旋转和噪声敏感度方面具有较大的优越性.由于Zernike矩具有图像旋转不变性和较低的噪声敏感度, 且可以构造任意高阶矩, 所以被广泛地应用于模式识别等领域中, MPEG-7标准中已将Zernike矩列为一种标准的区域描述符[31].基于Zernike矩, 文献[32]提出一种Zernike矩边缘梯度方法(Zernike moments & edge gradient, 简称ZMEG)用于商标图像检索, 这种方法将Zernike矩作为目标形状的全局特征, 提取形状的边缘梯度共生矩阵作为局部特征, 结合全局特征和局部特征对形状进行描述.文献[30]提出一种通用傅里叶描述子, 该方法首先对图像进行预处理, 将原始图像变换为极坐标图像, 再对其进行二维傅里叶变换, 用其变换系数的模作为描述子.该方法满足对目标形状的旋转、缩放和平移的不变性, 适合于一般的形状图像检索应用.近年来, Yang等人[33]提出一种自适应分层质心的算法, 这种方法递归地对形状区域进行分割, 通过若干次分割, 将形状区域分割成越来越小的区块, 每一次递归, 计算当前的形状区块的质心, 根据得到的质心, 将当前区块分割成4个更小的区块, 将每次递归产生的区块质心坐标构成的集合, 作为描述形状的特征向量.基于这种对图像递归地进行分块的技术, Sidiropoulos等人[34]提出了一种自适应分层密度直方图(adaptive hierarchical density histogram, 简称AHDH)的方法, 该方法用每一个形状区块的密度特征代替质心坐标来产生特征向量, 以此来表示形状区块像素点的分布特性.这两种方法在对形状进行分割时, 分割的方向依赖于目标形状所处的坐标系统, 因此不满足旋转不变性.此外, 随着递归次数的增加, 区块数量会呈指数级增长, 导致计算的复杂度很高, 难以满足实时性需求. 形状上下文(shape contexts, 简称SC)[35]是经典的基于边界点集的形状分析方法, 该方法将目标形状的边界像素点重新采样成指定个数的点集(一般100个~300个点), 将这个点集中的每一个点分别作为参考点, 通过在该点放置一个极坐标栅格来统计点集中的其他各点相对于该点的空间分布, 并产生直方图作为该点的描述子, 也称为该点的形状上下文.该方法有效地抽取了边界上点的空间分布信息和相对位置关系, 抽取的形状特征具有较强的辨识力, 在MPEG-7 CE-1形状测试集上取得了76.51%的识别准确率.距离集(distance set, 简称DS)描述方法[36]是另一种基于边界点集的形状描述方法, 该方法对目标形状边界上的点重新采样得到N个点的点集, 对点集中的每一个点, 计算该点与其最邻近的n(n≤N)个点的距离, 构成一个距离集.经过归一化处理的距离集可以用来描述该点与其临近各点的空间关系, 而由各点的距离集构成的集合, 即距离集的集合, 构成了描述整个点集的空间安排.该方法在MPEG-7 CE-1形状测试集上取得了78.38%的检索精确率.形状上下文和距离集在形状匹配阶段都需要计算点到点的优化问题, 该优化问题可归结为经典的二次指派问题, 而求解该问题的匈牙利算法[37]的时间复杂度为O(N3), 这里, N表示点集的规模.根据文献[35]的报告, 形状上下文方法在执行一次两个形状的匹配时, 在对每个形状仅采样100个点的情况下, 便需要耗费0.2s.而根据文献[36]的报告, 距离集方法在执行形状匹配时, 在采样250个点的情况下, 需要耗费0.7s.很显然, 考虑到匹配算法的计算复杂度, 在使用该类方法时, 对轮廓点进行重新采样得到的点集规模不能太大(一般不超过300个点).而对于具有复杂内部结构的区域形状, 如果对边界点重采样构成的点集规模太小, 显然不足以描述形状的复杂结构信息.形状上下文和距离集虽然能处理区域形状, 但是由于二者计算效率低, 所以有着很大的局限性.文献[38]提出一种称为轮廓点分布直方图(contour points distribution histogram, 简称CPDH)的方法, 该方法将极坐标栅格放置于整个形状的质心, 从而得到描述整个形状轮廓像素点空间关系的轮廓点分布直方图.形状的相似性用EMD(earth mover’s distance)距离进行度量.该方法实质上是一种全局描述子, 因不需要为点集中的每一个点进行特征描述, 因此无论在形状描述还是匹配阶段, 都减少了计算量.该方法在MPEG-7 CE-1形状测试集上取得了76.56%的检索精确率. 近年来, 一些研究工作将复杂网络模型应用于形状分析当中. 文献[39]提出, 将目标形状的边界建模为一个小世界复杂网络.在该模型中, 形状边界上的像素点对应网络上的节点, 像素点间的连线对应网络上的边, 像素点间的归一化欧氏距离作为边的权值.通过网络的动态演化, 提取各时刻网络的度特征和联合度特征, 组合成一个特征向量作为描述子, 在形状匹配阶段, 则通过特征向量间的欧氏距离来确定形状间相似度.文献[40]中提出一种无序点集描述方法(unordered point-set description, 简称UPSD), 该方法将目标形状边界看成无序点集, 提出一种新的基于复杂网络模型的目标边界无序点集形状分析方法.该方法用自主的网络动态演化机制分层地提取形状特征, 通过对网络的局部测量和全局测量, 获取网络的无权特征和加权特征, 构成形状的局部描述子和全局描述子.该描述子为目标形状的识别提供了具有强辨识能力的特征, 在形状匹配阶段, 用较低计算复杂度的Hausdorff距离和L-1距离分别作为局部距离和全局距离, 从而节省了时间成本.该方法在MPEG-7 CE-1形状测试集上取得了78.18%的检索精确率. 2 边界点集的分层描述模型 对于一个目标形状的图像, 我们首先抽取目标形状的边界像素点, 得到边界的无序点集B0, 该点集由边 界像素点的坐标构成, 用(x, y)表示像素点的坐标, 则目标形状边界的中心点$({\bar x_0}, {\bar y_0})$可以定义为 ${\bar x_0} = \frac{{\sum\nolimits_{(x, y) \in {B_0}} x }}{{|{B_0}|}}, {\bar y_0} = \frac{{\sum\nolimits_{(x, y) \in {B_0}} y }}{{|{B_0}|}}$ (1) 其中, |·|表示集合的基数.我们用中心点$({\bar x_0}, {\bar y_0})$对边界B0进行位置归一, 从而得到: ${\bar B_0} = \{ (x - {\bar x_0}, y - {\bar y_0})|(x, y) \in {B_0}\} $ (2) 再将边界${\bar B_0}$顺时针旋转一个角度θ, 这里θ∈[0, 2π), 此时的边界可以表示为 $\bar B_0^\theta = \{ (x\cos \theta + y\sin \theta , y\cos \theta - x\sin \theta )|(x, y) \in {\bar B_0}\} $ (3) 记边界$\bar B_0^\theta $的中心点$(\bar x_0^\theta , \bar y_0^\theta )$, 显然, 我们有$\bar x_0^\theta = 0$和$\bar y_0^\theta = 0$.通过该中心点, 我们可以对整个形状边界$\bar B_0^\theta $进行第1层分割, 得到如下集合: $\bar B_1^\theta = \{ (x, y)|x \leqslant \bar x_0^\theta , y \geqslant \bar y_0^\theta , (x, y) \in \bar B_0^\theta \} $ (4) 显然, $\bar B_1^\theta $是$\bar B_0^\theta $的一个子集, 我们称其为子边界. 同样, 我们进一步计算子边界$\bar B_1^\theta $的中心点坐标$(\bar x_1^\theta , \bar y_1^\theta )$, 并通过该中心点对子边界$\bar B_1^\theta $进行与公式(4)类似的分割, 得到子边界$\bar B_2^\theta $. 如此迭代地分割下去, 将经过l层分割得到的边界记为$\bar B_l^\theta $, 则该边界可以表示为 $\bar B_l^\theta = \{ (x, y)|x \leqslant \bar x_{l - 1}^\theta , y \geqslant \bar y_{l - 1}^\theta , (x, y) \in \bar B_{l - 1}^\theta \} $ (5) 其中, $(\bar x_{l - 1}^\theta , \bar y_{l - 1}^\theta )$是子边界$\bar B_{l - 1}^\theta $的中心点坐标.显然有$\bar B_0^\theta \supset \bar B_1^\theta \supset \bar B_2^\theta \supset ... \supset \bar B_l^\theta $. 我们对θ在区间[0, 2π)上均匀地采样m个角度, 用j=0, 1, …, m-1表示它们的索引.让变量θ依次取这m个值, 这样我们可以对目标形状边界${\bar B_0}$沿m个方向进行l层分割, 得到m×l个子边界, 构成集合: $\mathit{\Psi } (m, l) = \{ \bar B_i^j, i = 1, 2, ..., l, j = 0, 1, ..., m - 1\} $ (6) 我们称其为目标形状边界的分层描述模型, 其中, m和l为模型的参数, 分别表示该描述模型的方向角的个数和分层的层级数. 图 3和图 4给出了目标形状边界的分层描述模型示意图, 其中, 图 3为对区域形状边界的分层描述, 图 4为对轮廓线形状边界的分层描述, 模型的参数取m=5, l=3. Fig. 3 Visual illustration of iteratively partitioning the edge of region-based image in progressively smaller part along different directions 图 3 沿不同方向对区域形状的边界迭代地分割示意图 Fig. 4 Visual illustration of iteratively partitioning the edge of contour-based image in progressively smaller part along different directions 图 4 沿不同方向对轮廓线形状边界迭代地分割示意图 3 分层度量方法 第2节定义了描述目标形状边界的分层描述模型$\mathit{\Psi } (m, l) = \{ \bar B_i^j, i = 1, 2, ..., l, j = 0, 1, ..., m - 1\} $.在本节, 我们给出对子边界$\bar B_i^j$的几何度量方法, 通过该度量来抽取形状描述子. 3.1 分割比 如前所述, 当前层边界是对上一层边界进行一次分割得到的, 分割后的边界是上一层边界的一个子集, 当前层边界上的像素点在上一层边界中占的比重, 构成了当前层边界对上一层边界的几何分割的一个度量, 这里我们将该特征称为分割比, 定义为 $d_i^j = \frac{{\left| {\bar B_i^j} \right|}}{{\left| {\bar B_{i - 1}^j} \right|}}$ (7) 图 5给出了边界分割比的示意图, 其中, 第1行和第2行分别表示图 3和图 4中的区域形状和轮廓线形状在j取0、i分别取1, 2, 3时的分割比特征. Fig. 5 Visual illustration of partition ratio 图 5 形状边界的分割比特征示意图 3.2 分散度 度量边界点在二维坐标平面上的分散程度, 是另一类刻画形状边界几何特性的有用特征.为描述这一特性, 我们对子边界$\bar B_i^j$进行如下度量: 首先, 计算子边界$\bar B_i^j:\{ ({x_k}, {y_k}), k = 1, 2, ..., |\bar B_i^j|\} $中的每一个点到上一层子边界$\bar B_{i - 1}^j$的中心点$(\bar x_{i - 1}^j, \bar y_{i - 1}^j)$的距离, 构成距离序列: $\mathit{\Omega } = \{ {c_k} = \sqrt {{{({x_k} - \bar x_{i - 1}^j)}^2} + {{({y_k} - \bar y_{i - 1}^j)}^2}} , k = 1, 2, ..., |\bar B_i^j|\} $ (8) 计算该序列的均值: $\rho _i^j = \frac{{\sum\limits_{k = 1}^{k = |\mathit{\Omega } |} {\frac{{{c_k}}}{{\max (\mathit{\Omega } )}}} }}{{|\mathit{\Omega } |}}$ (9) 作为对子边界$\bar B_i^j$的一个度量.再进一步计算该序列的方差: $\sigma _i^j = \frac{{\sum\limits_{k = 1}^{k = |\mathit{\Omega } |} {{{\left( {\frac{{{c_k}}}{{\max (\mathit{\Omega } )}} - \rho _i^j} \right)}^2}} }}{{|\mathit{\Omega } |}}$ (10) 得到对子边界$\bar B_i^j$的另一度量.公式(9)和公式(10)中的距离ck, 我们用距离序列的最大值对其进行了归一化处理.这两个度量是以上一层子边界的中心点为参照点, 描述$\bar B_i^j$中的点的空间分布的统计特征. 离心率是一种被广泛应用的形状特征, 它反映了目标形状像素点绕着中心点的分散程度[41].这里, 我们定义子边界$\bar B_i^j$上点的离心率, 以子边界$\bar B_i^j$的当前层的中心点为参考点来度量该边界上点的分散度. 首先计算子边界$\bar B_i^j$的中心矩: ${\mu _{p, q}} = \sum\nolimits_{(x, y) \in \bar B_i^j} {{{(x - \bar x_i^j)}^p}{{(y - \bar y_i^j)}^q}} $ (11) 这里, $(\bar x_i^j, \bar y_i^j)$表示$\bar B_i^j$的中心.由中心矩μp, q, 我们可以得到矩阵: $U = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mu _{2, 0}}}&{{\mu _{1, 1}}} \\ {{\mu _{1, 1}}}&{{\mu _{0, 2}}} \end{array}} \right]$ (12) 而边界的主惯性矩是U的特征值, 这样, 边界$\bar B_i^j$的离心率可表示为 ${e_{cc}} = \sqrt {\frac{{{\lambda _{\max }}}}{{{\lambda _{\min }}}}} $ (13) 这里, λmax和λmin是U的特征值中的最大和最小值.这种描述方法仅仅取决于形状本身, 无关于形状的大小和方向.从公式(13)可以看出ecc > 1, 这里, 我们取$\bar B_i^j$离心率的倒数来对$\bar B_i^j$进行度量, 即: $e_i^j = \frac{1}{{{e_{cc}}}}$ (14) 组合上述定义的两类分散度度量, 得到特征向量: $s_i^j = [\begin{array}{*{20}{c}} {\rho _i^j}&{\sigma _i^j}&{e_i^j} \end{array}]$ (15) 作为描述子边界$\bar B_i^j$上点的分散特性的描述子. 总结给出的分层度量方法具有如下优点. (1) 具有形状描述的一般性.该度量方法既可以描述轮廓线形状, 又可以描述区域形状; (2) 具有特征抽取的可拓展性.除了分割比和分散度, 我们可以将更多其他的对目标边界的几何度量纳入到给出的分层描述模型, 从而满足不同精度的检索需求; (3) 具有对目标形状的多尺度描述性.本文提出的分层描述机制使得该形状描述子具有内在的由粗到细的多尺度表征能力; (4) 较低的计算复杂性.由于我们在特征提取时仅仅考虑目标形状的边界像素点, 使得给出的分层度量方法具有较高的计算效率. 4 形状相似度度量方法 形状相似度度量的主要任务是测量一副检索图像的特征向量与图像数据集中图像特征向量之间的差异.本节基于定义的目标形状边界点集的分层描述方法, 提出一种循环移位的特征匹配方法, 以度量两个目标形状的相似度. 4.1 形状描述子的构造 用我们前面提出的形状边界分层描述模型$\mathit{\Psi } (m, l) = \{ \bar B_i^j, i = 1, 2, ..., l, j = 0, 1, ..., m - 1\} $以及对每一个子边界$\bar B_i^j$的分割比度量$d_i^j$和分散度度量$s_i^j$, 我们可以构建矩阵D和矩阵S: $D = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {d_1^0}&{d_2^0}&{...}&{d_l^0} \\ {d_1^1}&{d_2^1}&{...}&{d_l^1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {d_1^{m - 1}}&{d_2^{m - 1}}&{...}&{d_l^{m - 1}} \end{array}} \right], S = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {s_1^0}&{s_2^0}&{...}&{s_l^0} \\ {s_1^1}&{s_2^1}&{...}&{s_l^1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {s_1^{m - 1}}&{s_2^{m - 1}}&{...}&{s_l^{m - 1}} \end{array}} \right]$ (16) 显然, 矩阵D的规模为m×l, 矩阵S的规模为m×3l(因为$s_i^j = [\begin{array}{*{20}{c}} {\rho _i^j}&{\sigma _i^j}&{e_i^j} \end{array}]$).这两个矩阵从m个方向和l个尺度, 分别描述了目标形状边界的分割比特性和边界点的分散度. 组合矩阵D和矩阵S, 产生一个对目标形状进行综合描述的规模为m×4l的矩阵F0: $ F_{0}=[\omega \cdot D \quad(1-\omega) \cdot S] $ (17) 其中, ω∈[0, 1]为权重变量, 用以调节描述矩阵D和S在形状相似性度度量中的贡献. 4.2 循环移位特征匹配 我们将特征矩阵F0的每一行表示成一个行向量Vi, i=0, 1, …, m-1, 这样, 特征矩阵F0就可以改写成一个列向量的形式, 即: ${F_0} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_0}} \\ {{V_1}} \\ \vdots \\ {{V_{m - 1}}} \end{array}} \right]$ (18) 需要指出的是, 当目标形状发生旋转时, 我们对目标进行分割的起始方向会发生改变, 使得方向序列(长度为m)会发生循环移位.为此, 对于一个待识别的目标形状A, 在将其与数据集里的形状进行匹配之前, 我们先准备其特征矩阵F0以及F0的m-1个循环移位后的版本: ${F_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_1}} \\ {{V_2}} \\ \vdots \\ {{V_{m - 1}}} \\ {{V_0}} \end{array}} \right], {F_2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_2}} \\ \vdots \\ {{V_{m - 1}}} \\ {{V_0}} \\ {{V_1}} \end{array}} \right], {F_3} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_3}} \\ \vdots \\ {{V_0}} \\ {{V_1}} \\ {{V_2}} \end{array}} \right], ..., {F_{m - 1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_{m - 1}}} \\ {{V_0}} \\ {{V_1}} \\ \vdots \\ {{V_{m - 2}}} \end{array}} \right]$ (19) 这样, 形状A与数据集里面的形状B之间的差异度可以定义为 $dis(A, B) = \mathop {\min }\limits_{j = 0, 1, ..., m - 1}